a, b, c adalah sisi-sisi, dengan:
a dipilih dari A= {1, 2, 3, 4}
b dipilih dari B= {2, 3, 4, 6}
c dipilih dari {3, 4, 6, 8}
Tentukan peluang a, b, c dapat membentuk segitiga, jika a, b, c dipilih acak.
A. 47/64
B. 37/64
C. 21/32
D. 3/4
E. 49/64
Peluang [tex]a, b, c[/tex] dapat membentuk segitiga jika [tex]a, b, c[/tex] dipilih acak adalah 31/64.
(tidak ada pada opsi jawaban)
Pembahasan
Segitiga, dan Peluang
Diketahui
[tex]a, b, c[/tex] adalah sisi-sisi, dengan:
- [tex]a[/tex] dipilih dari [tex]A = \{1, 2, 3, 4\}[/tex]
- [tex]b[/tex] dipilih dari [tex]B = \{2, 3, 4, 6\}[/tex]
- [tex]c[/tex] dipilih dari [tex]C = \{3, 4, 6, 8\}[/tex]
Ditanyakan
- Peluang [tex]a, b, c[/tex] dapat membentuk segitiga, jika [tex]a, b, c[/tex] dipilih acak.
PENYELESAIAN
[tex]n(A) = n(B) = n(C) = 4[/tex]. Oleh karena itu, banyak pasangan tripel [tex](a, b, c)[/tex] yang mungkin dari himpunan [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], dan [tex]C[/tex] adalah banyak anggota cross-product ketiga himpunan tersebut, yaitu:
[tex]\begin{aligned}n(A\times B\times C)&=n(A)\cdot n(B)\cdot n(C)\\\therefore\ n(A\times B\times C)&=4^3=\bf64\end{aligned}[/tex]
Tripel [tex](a, b, c)[/tex] dapat membentuk segitiga jika dan hanya jika [tex](a+b > c)\ \land\ (b+c > a)\ \land\ (a+c > b)[/tex]. Atau dengan kata lain, jumlah panjang dua sisi segitiga lebih dari panjang satu sisi yang lainnya.
Menggunakan kontradiksi (negasi), dapat kita katakan bahwa [tex](a, b, c)[/tex] tidak dapat membentuk segitiga jika [tex](a+b \le c)\ \lor\ (b+c \le a)\ \lor\ (a+c \le b)[/tex] (salah satu kondisi saja sudah cukup, karena hubungannya adalah disjungsi).
Mari kita selidiki.
- [tex](1, 2, c)[/tex]: tidak ada yang memenuhi karena [tex]1+2 \le c,\ \forall\,c\in C[/tex].
- [tex](2, 2, c)[/tex]: 1 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c = 3[/tex].
- [tex](3, 2, c)[/tex] dan [tex](2, 3, c)[/tex]: 2×2 = 4 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c\in\{3,4\}[/tex].
- [tex](4, 2, c)[/tex] dan [tex](2, 4, c)[/tex]: 2×2 = 4 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c\in\{3,4\}[/tex].
- [tex](1, 3, c)[/tex]: 1 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c = 3[/tex].
- [tex](3, 3, c)[/tex]: 2 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c\in\{3,4\}[/tex].
- [tex](4, 3, c)[/tex] dan [tex](3, 4, c)[/tex]: 3×2 = 6 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c\in\{3, 4, 6\}[/tex].
- [tex](1, 4, c)[/tex]: 1 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c = 4[/tex].
- [tex](4, 4, c)[/tex]: 3 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c\in\{3,4,6\}[/tex].
- [tex](1, 6, c)[/tex]: 1 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c = 6[/tex].
- [tex](2, 6, c)[/tex]: 1 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c = 6[/tex].
- [tex](3, 6, c)[/tex]: 3 pasangan yang memenuhi, dengan [tex]c\in\{4,6,8\}[/tex].
- [tex](4, 6, c)[/tex]: 4 pasangan yang memenuhi, [tex]\forall\,c\in C[/tex].
Jadi, terdapat [tex]1+4+4+1+2+6+1+3+1+1+3+4 = \bf31[/tex] tripel [tex](a,b,c)[/tex] yang memenuhi syarat pembentukan segitiga dari panjang sisi-sisinya.
KESIMPULAN
∴ Oleh karena itu, peluang sebuah tripel [tex](a, b, c)[/tex] yang terpilih acak dapat membentuk segitiga adalah 31/64.
________________________
Tambahan
Karena 31/64 tidak ada pada opsi jawaban, maka saya buat sebuah program C++ sederhana yang memeriksa tripel [tex](a,b,c)[/tex] dari array a, b, dan c dengan data seperti pada pertanyaan. Kondisi "if" pada program tersebut adalah:
(a[i] + b[j] > c[k]) && (a[i] + c[k] > b[j]) && (b[j] + c[k] > a[i])
Output eksekusinya adalah sebagai berikut:
1. (2,2,3)
2. (3,2,3)
3. (3,2,4)
4. (4,2,3)
5. (4,2,4)
6. (1,3,3)
7. (2,3,3)
8. (2,3,4)
9. (3,3,3)
10. (3,3,4)
11. (4,3,3)
12. (4,3,4)
13. (4,3,6)
14. (1,4,4)
15. (2,4,3)
16. (2,4,4)
17. (3,4,3)
18. (3,4,4)
19. (3,4,6)
20. (4,4,3)
21. (4,4,4)
22. (4,4,6)
23. (1,6,6)
24. (2,6,6)
25. (3,6,4)
26. (3,6,6)
27. (3,6,8)
28. (4,6,3)
29. (4,6,4)
30. (4,6,6)
31. (4,6,8)
∴ Terdapat 31 pasangan (a,b,c) yang memenuhi.
